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2018년 3월 3일 토요일

선형 회귀 분석 (5)

앞서 영향력이 있는 관측치에 대해서 이야기했습니다. 이는 관측치 가운데 하나가 전체 모델이 큰 영향을 주는 경우를 이야기 합니다. 예를 들어 어린이의 나이와 키의 상관 관계를 보려고 하는데, 키가 180cm인 8세 남자아이가 있다면 어떻게 될까요? 나이에 따라 키가 증가한다는 회귀 모델에 상당한 영향을 주게 될 것입니다. 9세, 10세 소아보다 키가 더 클 테니까요. 


 사실 이런 관측치는 이상치 (outlier)에 속한다고 할 수 있으며 뭔가 측정이 잘못된 것이 아닌가 살펴봐야 합니다. 정말 말이 안되는 수치인 경우 기록이나 측정이 잘못된 것으로 봐야 하겠죠. 하지만 정상 범위에 들어가는데도 모델에 영향을 추는 관측치는 존재합니다. 이들을 어떻게 확인하고 적절히 처리하는 것이 통계 분석에서 중요합니다. 


 앞서 지렛값으로 표현한 영향력이 큰 값을 알아보기 위해서 쿡의 거리를 예로 들었습니다. 쿡의 거리는 가장 널리 사용되는 영향력 지표로 R의 잔차도에서 기본값으로 보여줍니다. 이는 해당 관측값이 전체 최소제곱추정량에 미치는 영향력을 보여주는 지표입니다. 쿡의 거리에 대해서는 전문 통계 서적을 참조해 주십시요. 


 쿡의 거리가 1이 넘으면 상당한 영향력을 끼치는 관측값이기 때문에 해당 값을 다시 확인해야 합니다. 하지만 이것만으로 판단이 안되는 애매한 크기의 관측값이 있을 수 있습니다. 추가로 볼 수 있는 값으로 DFBETAS (Difference in betas)가 있습니다. 이는 해당 관측치의 개별 베타 값에 대한 영향력 지표입니다. 반대로 적합값(fitted value)에 대한 영향력은 DFFITS (difference in Standardized Fits)라고 합니다. 마지막으로 베타값의 분상 공분상 행렬의 Cov(b^) 추정값에 대한 해당 관측치에 대한 영향력을 보기 위해 COVRATIO 를 확인할 수 있습니다. 


 실제로 이를 구해보겠습니다. 역시 앞의 예제를 그대로 활용합니다. 쿡의 거리를 구하는 방법은 cooks.distance() 입니다. 



set.seed(1234)
x<-rnorm span="">
set.seed(4567)
b<-rnorm span="">
y=3*x+b
y

model=lm(y~x)

> cooks.distance(model)
           1            2            3            4            5            6            7            8            9           10           11           12           13           14 
2.600136e-02 2.964722e-02 9.460372e-04 8.310767e-03 4.270502e-02 6.912472e-02 6.886873e-04 3.115780e-06 4.954109e-03 3.004645e-02 2.442558e-02 1.964249e-02 5.583533e-03 4.866320e-04 
          15           16           17           18           19           20           21           22           23           24           25           26           27           28 
8.254979e-05 3.526836e-04 3.374894e-05 1.059867e-02 6.275987e-02 6.292508e-01 2.222316e-07 2.441922e-03 1.082112e-03 8.162240e-03 3.462975e-02 2.718459e-02 1.229875e-03 5.773949e-05 
          29           30           31           32           33           34           35           36           37           38           39           40           41           42 
5.728208e-04 6.816683e-03 1.745361e-01 1.641478e-03 8.014061e-03 1.318513e-02 1.530960e-02 4.621449e-02 1.327900e-01 2.454684e-03 4.217183e-04 1.017895e-05 6.901388e-02 5.422216e-05 
          43           44           45           46           47           48           49           50 
3.066727e-03 2.577556e-02 3.020307e-03 1.466131e-03 5.275885e-04 1.944129e-02 1.778459e-02 9.060604e-03 


 역시 다른 값들도 기본 함수로 정의되어 있어 covratio(), dffits(), dfbetas()로 확인할 수 있습니다. 

> covratio(model)
        1         2         3         4         5         6         7         8         9        10        11        12        13        14        15        16        17        18 
1.0166823 1.0049375 1.1346557 1.1699503 0.9965723 0.9586003 1.0617766 1.0645262 1.0435610 0.9677118 0.9608814 1.0121283 1.0460037 1.0703567 1.1238113 1.0662976 1.0642407 1.0343993 
       19        20        21        22        23        24        25        26        27        28        29        30        31        32        33        34        35        36 
0.8519556 1.1391000 1.0741355 1.0537654 1.0595996 1.0714466 0.9305887 1.0420920 1.0927978 1.0734085 1.0677548 1.0483295 0.9620704 1.0571891 1.0343154 1.0079963 1.0812999 0.9616953 
       37        38        39        40        41        42        43        44        45        46        47        48        49        50 
1.0408390 1.0818220 1.0632316 1.0642522 1.1257242 1.0749655 1.0579127 0.9600232 1.0631681 1.0671351 1.0750717 1.0370244 0.9890301 1.0254304 
> dffits(model)
            1             2             3             4             5             6             7             8             9            10            11            12 
-0.2291204281 -0.2453109669  0.0430520461  0.1277476627  0.2955225946  0.3800179151  0.0367497143 -0.0024701769 -0.0989914300  0.2487259944  0.2243702038  0.1990030065 
           13            14            15            16            17            18            19            20            21            22            23            24 
-0.1050949025  0.0308817921 -0.0127148411  0.0262888228 -0.0081299574  0.1453013653 -0.3709983753 -1.1608907594 -0.0006596997 -0.0693254154 -0.0460849910  0.1269263411 
           25            26            27            28            29            30            31            32            33            34            35            36 
 0.2694083447  0.2335018140 -0.0491017533  0.0106340228 -0.0335084957 -0.1161571004  0.6096307501 -0.0567922802 -0.1262296725  0.1628893614  0.1740890035 -0.3096151226 
           37            38            39            40            41            42            43            44            45            46            47            48 
-0.5234976052 -0.0694172431 -0.0287498446 -0.0044647730 -0.3717957967  0.0103049914  0.0776965550 -0.2305833479  0.0770783821  0.0536425808  0.0321543311 -0.1972341286 
           49            50 
 0.1900826351 -0.1344516184 
> dfbetas(model)
     (Intercept)             x
1  -0.1570817397  1.494553e-01
2   0.1484953764 -1.570898e-01
3  -0.0364130007  3.740498e-02
4   0.1182153166 -1.159286e-01
5  -0.2001461266  2.096813e-01
6  -0.2688153939  2.805736e-01
7   0.0066804405 -5.055585e-03
8  -0.0003720607  2.623403e-04
9  -0.0168705658  1.248587e-02
10  0.1208673975 -1.110122e-01
11  0.0162163131 -6.179515e-03
12  0.1126176355 -1.051579e-01
13 -0.0407510478  3.637243e-02
14 -0.0144993138  1.570570e-02
15  0.0104941742 -1.080511e-02
16 -0.0084720012  9.577857e-03
17 -0.0008993268  5.366172e-04
18  0.0730275205 -6.732945e-02
19 -0.1640298329  1.489647e-01
20  1.0939724976 -1.110269e+00
21  0.0003423443 -3.672519e-04
22 -0.0060733635  2.974966e-03
23 -0.0014063373 -6.576974e-04
24 -0.0875346099  9.156247e-02
25  0.0829210138 -7.135995e-02
26  0.1819901253 -1.752567e-01
27  0.0359036534 -3.736747e-02
28  0.0061965148 -5.803326e-03
29  0.0136239341 -1.498109e-02
30 -0.0605676137  5.606865e-02
31 -0.5172241864  5.311547e-01
32 -0.0040013008  1.460573e-03
33 -0.0408410483  3.545182e-02
34  0.0162223601 -8.948521e-03
35  0.1441227724 -1.396056e-01
36 -0.2062328317  1.956853e-01
37 -0.4769913543  4.668541e-01
38 -0.0515460384  4.941240e-02
39  0.0038541638 -5.126033e-03
40 -0.0002652832  6.544753e-05
41  0.3304046393 -3.377071e-01
42  0.0062958962 -5.924280e-03
43  0.0355513253 -3.242215e-02
44  0.0343504111 -4.452576e-02
45  0.0434071475 -4.051154e-02
46  0.0292439987 -2.720100e-02
47  0.0203733341 -1.923899e-02
48 -0.1392881925  1.328956e-01
49  0.0237734851 -1.530499e-02
50 -0.0127188011  6.712592e-03


 참고로 창 크기를 옆으로 늘리면 1:1로 밀리지 않고 매칭할 수 있습니다. 아무튼 이렇게 일일이 확인하면 번거로우므로 실제로는 이를 한 번에 확인할 수 있는 influence.measures() 함수를 사용하게 됩니다. 아래는 값들이 붙었는데 R에서는 잘 확인이 될 것입니다. * 표시는 영향력이 의심되는 경우입니다. 




> influence.measures(model)
Influence measures of
 lm(formula = y ~ x) :

      dfb.1_     dfb.x       dffit      cov.r  cook.d   hat inf
1  -0.157082  1.49e-01 -0.22912 1.017 2.60e-02 0.0348    
2   0.148495 -1.57e-01 -0.24531 1.005 2.96e-02 0.0339    
3  -0.036413  3.74e-02  0.04305 1.135 9.46e-04 0.0816   *
4   0.118215 -1.16e-01  0.12775 1.170 8.31e-03 0.1133   *
5  -0.200146  2.10e-01  0.29552 0.997 4.27e-02 0.0403    
6  -0.268815  2.81e-01  0.38002 0.959 6.91e-02 0.0440    
7   0.006680 -5.06e-03  0.03675 1.062 6.89e-04 0.0204    
8  -0.000372  2.62e-04 -0.00247 1.065 3.12e-06 0.0202    
9  -0.016871  1.25e-02 -0.09899 1.044 4.95e-03 0.0203    
10  0.120867 -1.11e-01  0.24873 0.968 3.00e-02 0.0250    
11  0.016216 -6.18e-03  0.22437 0.961 2.44e-02 0.0200    
12  0.112618 -1.05e-01  0.19900 1.012 1.96e-02 0.0277    
13 -0.040751  3.64e-02 -0.10509 1.046 5.58e-03 0.0227    
14 -0.014499  1.57e-02  0.03088 1.070 4.87e-04 0.0270    
15  0.010494 -1.08e-02 -0.01271 1.124 8.25e-05 0.0720    
16 -0.008472  9.58e-03  0.02629 1.066 3.53e-04 0.0231    
17 -0.000899  5.37e-04 -0.00813 1.064 3.37e-05 0.0201    
18  0.073028 -6.73e-02  0.14530 1.034 1.06e-02 0.0255    
19 -0.164030  1.49e-01 -0.37100 0.852 6.28e-02 0.0238   *
20  1.093972 -1.11e+00 -1.16089 1.139 6.29e-01 0.2344   *
21  0.000342 -3.67e-04 -0.00066 1.074 2.22e-07 0.0290    
22 -0.006073  2.97e-03 -0.06933 1.054 2.44e-03 0.0200    
23 -0.001406 -6.58e-04 -0.04608 1.060 1.08e-03 0.0200    
24 -0.087535  9.16e-02  0.12693 1.071 8.16e-03 0.0417    
25  0.082921 -7.14e-02  0.26941 0.931 3.46e-02 0.0215    
26  0.181990 -1.75e-01  0.23350 1.042 2.72e-02 0.0458    
27  0.035904 -3.74e-02 -0.04910 1.093 1.23e-03 0.0475    
28  0.006197 -5.80e-03  0.01063 1.073 5.77e-05 0.0285    
29  0.013624 -1.50e-02 -0.03351 1.068 5.73e-04 0.0250    
30 -0.060568  5.61e-02 -0.11616 1.048 6.82e-03 0.0261    
31 -0.517224  5.31e-01  0.60963 0.962 1.75e-01 0.0830    
32 -0.004001  1.46e-03 -0.05679 1.057 1.64e-03 0.0200    
33 -0.040841  3.55e-02 -0.12623 1.034 8.01e-03 0.0217    
34  0.016222 -8.95e-03  0.16289 1.008 1.32e-02 0.0201    
35  0.144123 -1.40e-01  0.17409 1.081 1.53e-02 0.0560    
36 -0.206233  1.96e-01 -0.30962 0.962 4.62e-02 0.0333    
37 -0.476991  4.67e-01 -0.52350 1.041 1.33e-01 0.0977    
38 -0.051546  4.94e-02 -0.06942 1.082 2.45e-03 0.0405    
39  0.003854 -5.13e-03 -0.02875 1.063 4.22e-04 0.0207    
40 -0.000265  6.54e-05 -0.00446 1.064 1.02e-05 0.0200    
41  0.330405 -3.38e-01 -0.37180 1.126 6.90e-02 0.1143   *
42  0.006296 -5.92e-03  0.01030 1.075 5.42e-05 0.0299    
43  0.035551 -3.24e-02  0.07770 1.058 3.07e-03 0.0242    
44  0.034350 -4.45e-02 -0.23058 0.960 2.58e-02 0.0208    
45  0.043407 -4.05e-02  0.07708 1.063 3.02e-03 0.0276    
46  0.029244 -2.72e-02  0.05364 1.067 1.47e-03 0.0269    
47  0.020373 -1.92e-02  0.03215 1.075 5.28e-04 0.0312    
48 -0.139288  1.33e-01 -0.19723 1.037 1.94e-02 0.0366    
49  0.023773 -1.53e-02  0.19008 0.989 1.78e-02 0.0201    
50 -0.012719  6.71e-03 -0.13445 1.025 9.06e-03 0.0200   


 하지만 사실 이렇게보면 더 해석이 어려워 보입니다. 대개는 쿡의 거리 정도만 측정하는데, 그래도 더 모델을 정교하게 가다듬어야 한다면 olsrr 패키지와 ddalpha 패키지를 설치해서 그래프로 더 상세하게 볼 수 있습니다. 


require("olsrr")
ols_cooksd_barplot(model)
ols_dfbetas_panel(model)
ols_dffits_plot(model)





(큰 그림을 보려면 클릭) 


 이렇게 보니 한결 파악이 쉬워졌습니다. 모델에서 20은 제외시키는 게 좋을 것 같고 31,37번 관측치도 다소 영향을 주는 관측치입니다. 이를 하나씩 제외시키면서 모델이 적합해지는지 관찰해 나가면됩니다. 다음 시간에 좀 더 실제 데이터에 가까운 예제 데이터로 실습해 보겠습니다. 모든 일이 그러하듯 회귀 분석 역시 여러 번 실제로 해봐야 실력이 늘 수 있습니다. 


 참고로 olsrr 패키지로 더 다양한 플롯을 그려보고 싶다면 아래 설명을 참조해 보시기 바랍니다. 




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