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비모수(非母數, Nonparametric) 통계방법이란 이름처럼 모수가 아닌 데이터를 분석하는 방법입니다. 자료가 정규 분포를 따르지 않거나 (정규성 가정 위반) 서열척도 처럼 처음부터 따를 수 없는 자료를 분석하는 경우를 들 수 있습니다. 모수에 대한 가정을 하지 않고 모집단의 형태의 관계 없이 주어진 데이터로 분석을 하기 때문에 모수 통계 분석에서 주어지는 여러 가지 가정을 위반해도 데이터 분석이 가능해진다는 장점이 있습니다.
좀 더 자세한 내용은 텍스트북 (R 비모수 통계 방법에 대해서는 R과 함께 하는 비모수통계학을 비롯한 몇 권의 책이 있는데 사실 이해가 쉽진 않습니다)을 참조해 주시고 여기서는 실제적인 분석 예제를 중심으로 설명해 보겠습니다.
앞서 비모수 통계 이야기를 꺼내게 만든 논문의 경우 26명의 실험군과 26명의 대조군을 설정했습니다. 26명은 화이자 백신 2회 접종 후 돌파 감염이 생겼고 나이와 성별로 매칭된 26명의 대조군은 돌파 감염을 겪지 않았습니다. 논문의 내용은 돌파 감염 후 항체의 역가가 크게 증가해 최대 1000%까지 늘어났다는 이야기입니다.
Bates TA, McBride SK, Winders B, et al. Antibody Response and Variant Cross-Neutralization After SARS-CoV-2 Breakthrough Infection. JAMA. Published online December 16, 2021. doi:10.1001/jama.2021.22898
이렇게 샘플을 구성한 이유는 백신 접종자 가운데 돌파 감염이 생긴 사람이 상대적으로 적기 때문입니다. 그리고 최근에는 3차 접종까지 시작했기 때문에 2회 접종 후 돌파 감염이 생긴 경우를 조사하기 위해선 더 샘플을 모으기 어려워서 26명의 돌파 감염자를 갖고 다수의 감염이 생기지 않은 2회 접종 완료자와 비교하기 위해 서로 매칭하는 방법을 사용했습니다.
그 후 두 군을 서로 비교하기 위해 Wilcoxon matched-pairs signed rank test with the Holm-Šídák correction이라는 비모수 통계방법을 사용했으며, 변이에 따른 추가 분석을 위해 Kruskal-Wallis test with Dunn correction라는 비모수 통계방법을 사용했습니다.
우선 여기에서는 윌콕슨 부호 순위 검정 (Wilcoxon signed-rank test)을 먼저 보겠습니다. 윌콘슨 부호 순위 검정은 Wilcoxon matched pairs rank test, Wilcoxon t test, 혹은 그냥 윌콕슨 검정이라고도 불립니다. 다만 matched pairs이라는 명칭이 들어간 것은 일표본이 아니라 짝지어진(paired) 표본이라는 이야기로 대응표본 T 검정의 비모수적 방법이라고 할 수 있습니다. 보통 대응되는 두 표본은 치료 전후 비교 혹은 실험군-대조군 매칭인 경우를 의미합니다.
그런데 사실 윌콕슨 부호 순위 검정은 일표본 t 검정처럼 대응 되는 표본 없이도 할 수 있습니다. 물론 대응 표본에 주로 사용하기는 하지만, 이 통계방법이 무조건 대응되는 표본의 비모수 통계에만 쓰인다는 오해가 있을 수 있어 먼저 이것부터 다루고 넘어가겠습니다.
우선 가상의 예제를 만들어 보겠습니다. 시판되는 통조림을 일정 수량 회수해서 내용물의 무게가 표시된 것과 같은지 검증하고자 합니다. 아니면 회사에서 출고 전 품질 관리를 위해 조사할 수 있습니다. 그런데 통계적 유의성 확보를 위해 샘플을 무조건 많이 확보하기는 시간과 예산상 어려워 10개 정도를 회수했습니다. 표시된 중량은 500g이라고 가정하고 10개 정도 데이터를 입력해 보겠습니다.
set.seed(22)
A<-rnorm(10,500,20)
A<-round(A)
A
shapiro.test(A)
실행하면
> set.seed(22)
> A<-rnorm(10,500,20)
> A<-round(A)
> A
[1] 490 550 520 506 496 537 499 497 496 506
>
> shapiro.test(A)
Shapiro-Wilk normality test
data: A
W = 0.83673, p-value = 0.04032
샤피로 윌크 검정에서 유의한 결과가 나와 (P<0.05) 정규성 가정을 위반한 데이터 입니다. (일부러 그렇게 시드값을 만듬) 정규 분포에 따라 숫자 10개를 만들었지만, 앞서 정규성 검정에 관련된 포스트에서 언급한 것처럼 그래도 정규 분포에 어긋난 데이터가 나올 수 있습니다. 여기서는 아마도 550g 처럼 약간 튀는 녀석이 있어서 그런 것으로 볼 수 있습니다.
아무튼 이렇게 회수했는데, T 검정을 할 수 없는 상황이라 '통조림 내용물의 중량의 중앙값은 500g이다.'라는 것을 귀무 가설(H0)으로 윌콘슨 부호 순위 검정을 해보겠습니다. 그런데 오류가 나지 않게 하기 위해서 A를 일단 데이터 프레임으로 바꾼 후 변수 명을 weight로 지정하겠습니다. 윌콕슨 검정은 R의 기본 테스트로 wilcox.test()로 할 수 있으며 검정하고자 하는 데이터와 알려진 평균 (mu)를 지정하면 됩니다.
Data1<-data.frame(A)
names(Data1)<- c("weight")
wilcox.test(Data1$weight, mu = 500)
실행하면
> wilcox.test(Data1$weight, mu = 500)
Wilcoxon signed rank test with continuity correction
data: Data1$weight
V = 38, p-value = 0.3074
alternative hypothesis: true location is not equal to 500
Warning message:
In wilcox.test.default(Data1$weight, mu = 500) :
cannot compute exact p-value with ties
연결된 (ties) 샘플의 정확한 P값을 구할 수 없는 것은 일표본이니 당연합니다.아무튼 일표본의 P 값이 0.3074으로 나와 귀무 가설을 기각할 수 없습니다. 통조림 내용물의 무게의 중앙값은 알려진 값과 크게 다르지 않은 것 같습니다.
그런데 역설적이지만 윌콕슨 부호 순위 검정이 일표본에선 잘 쓰이지 않는지 이유를 여기서 알 수 있습니다. 모집단의 평균이나 분산을 이미 알고 있다면 모수적인 데이터에 근거한 자료가 있는 셈이고 굳이 비모수 통계를 사용해 샘플의 중앙값이 맞는지 알 필요가 없습니다. 표준 편차치에서 크게 벗어나거나 혹은 제품의 원래 의도된 범위에서 벗어난 물건은 불량품으로 판정하는 것이 더 합리적입니다.
예를 들어 490g 이하나 510g 이상은 극히 드물고 제품의 이상으로 볼 수 있는 수준이라면 이를 불량품으로 간주하는 것입니다. 위의 가상 예제는 10개만 골랐는데도 상당한 불량품이 있어 왜 그런지 조사를 해야 합니다. 참고로 모수적 방법이 더 통계적 검정력이 높기 때문에 같은 조건이라면 모수적 통계 결과가 신뢰성이 높습니다.
윌콕슨 부호 순위 검정이 큰 힘을 발휘하는 분야는 역시 짝지어진 표본의 비교이고 대부분 이 목적으로 사용되기 때문에 다음에 더 자세히 이야기해 보겠습니다.
참고
https://en.wikipedia.org/wiki/Wilcoxon_signed-rank_test
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