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이상치의 처리 (5)


 바로 앞에서 본 예제를 수정하지 않은 상태에서 선형 회귀 분석을 시행해 보겠습니다. 우선 가격과 캐럿의 선형 관계를 알아보고 잔차도를 그려 그 모양을 확인해 보겠습니다. 그리고 영향력 관측치를 찾기 위해 influence.measures 및 olsrr 패키지를 사용해서 관측치를 알아 보겠습니다. 



set.seed(3311)
diamonds1<-sample 50="" diamonds="" nrow="" span="">
D1<-diamonds diamonds1="" span="">
D1

model=lm(price~carat, data=D1)
summary(model)

par(mfrow=c(2,2))
plot(model)

influence.measures(model)

require("olsrr")
ols_cooksd_barplot(model)
ols_dfbetas_panel(model)
ols_dffits_plot(model)


 이 코드를 그대로 옮겨서 시행해보면 

> model=lm(price~carat, data=D1)
> summary(model)

Call:
lm(formula = price ~ carat, data = D1)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-5110.3 -1185.0   -17.3   856.3  4602.7 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -2349.1      462.1  -5.083 6.06e-06 ***
carat         7733.0      470.2  16.446  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1717 on 48 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8493, Adjusted R-squared:  0.8461 
F-statistic: 270.5 on 1 and 48 DF,  p-value: < 2.2e-16

> par(mfrow=c(2,2))
> plot(model)
> influence.measures(model)
Influence measures of
 lm(formula = price ~ carat, data = D1) :

     dfb.1_ dfb.cart   dffit cov.r   cook.d    hat inf
1  -0.01136  0.00568 -0.0137 1.069 9.52e-05 0.0242    
2  -0.04067  0.02261 -0.0466 1.067 1.11e-03 0.0261    
3  -0.00509 -0.00716 -0.0224 1.066 2.57e-04 0.0223    
4   0.08590 -0.06194  0.0885 1.077 3.98e-03 0.0392    
5  -0.05859 -0.02074 -0.1466 1.020 1.07e-02 0.0204    
6  -0.00487 -0.00172 -0.0122 1.064 7.57e-05 0.0204    
7  -0.24540  0.55505  0.7032 0.781 2.13e-01 0.0531   *
8   0.02762 -0.00752  0.0411 1.061 8.60e-04 0.0207    
9   0.07435 -0.16590 -0.2090 1.068 2.20e-02 0.0541    
10  0.01078 -0.00694  0.0116 1.076 6.86e-05 0.0312    
11  0.00770 -0.07330 -0.1273 1.052 8.18e-03 0.0299    
12  0.02672  0.12250  0.2777 0.944 3.70e-02 0.0248    
13  0.11158 -0.08165  0.1144 1.073 6.64e-03 0.0408    
14 -0.06709  0.28012  0.4298 0.878 8.50e-02 0.0348    
15  0.00228 -0.01825 -0.0311 1.074 4.94e-04 0.0305    
16 -0.03069  0.01079 -0.0423 1.062 9.13e-04 0.0214    
17 -0.05320 -0.06605 -0.2184 0.976 2.33e-02 0.0220    
18 -0.28925  0.46826  0.5123 1.097 1.29e-01 0.1216   *
19  0.09478 -0.20873 -0.2616 1.051 3.41e-02 0.0551    
20  0.07190 -0.05299  0.0736 1.082 2.76e-03 0.0416    
21 -0.43346  0.63206  0.6625 1.258 2.17e-01 0.2227   *
22 -0.05447 -0.01928 -0.1362 1.025 9.30e-03 0.0204    
23  0.08582 -0.06281  0.0880 1.079 3.94e-03 0.0408    
24 -0.25038  0.39912  0.4337 1.138 9.36e-02 0.1305   *
25 -0.12572  0.03692 -0.1832 0.997 1.66e-02 0.0208    
26  0.27862 -0.63019 -0.7984 0.714 2.62e-01 0.0531   *
27  0.10608 -0.07763  0.1088 1.075 6.01e-03 0.0408    
28  0.01806  0.12898  0.2753 0.950 3.65e-02 0.0256    
29 -0.04622  0.01540 -0.0649 1.057 2.14e-03 0.0212    
30 -0.00941 -0.04313 -0.0978 1.053 4.84e-03 0.0248    
31  0.13347 -0.10220  0.1352 1.077 9.26e-03 0.0467    
32  0.10482 -0.07615  0.1077 1.074 5.89e-03 0.0400    
33  0.01157  0.01629  0.0511 1.062 1.33e-03 0.0223    
34 -0.02908  0.01586 -0.0336 1.069 5.77e-04 0.0257    
35  0.11303 -0.08330  0.1157 1.074 6.79e-03 0.0416    
36  0.01412 -0.00799  0.0161 1.071 1.32e-04 0.0266    
37  0.08864 -0.06533  0.0907 1.080 4.18e-03 0.0416    
38 -0.02792  0.01818 -0.0299 1.076 4.55e-04 0.0318    
39 -0.01795  0.01207 -0.0190 1.079 1.84e-04 0.0336    
40  0.01318 -0.15685 -0.2775 0.967 3.73e-02 0.0294    
41  0.03740 -0.14783 -0.2239 1.021 2.49e-02 0.0354    
42  0.05347 -0.03856  0.0551 1.082 1.55e-03 0.0392    
43  0.03530 -0.02485  0.0367 1.081 6.86e-04 0.0370    
44 -0.04697  0.02231 -0.0578 1.062 1.70e-03 0.0235    
45 -0.04600 -0.01352 -0.1103 1.039 6.13e-03 0.0203    
46  0.05891 -0.04248  0.0607 1.081 1.88e-03 0.0392    
47  0.08562 -0.06310  0.0876 1.080 3.90e-03 0.0416    
48 -0.08710  0.00777 -0.1534 1.014 1.17e-02 0.0201    
49  0.13562 -0.10445  0.1372 1.078 9.54e-03 0.0476    
50 -0.02788 -0.03925 -0.1230 1.037 7.62e-03 0.0223    








 만약 위의 그림이 잘 보이지 않으면 클릭하면 원본을 볼 수 있습니다. 아무튼 이 결과를 보면 의외로 21번 관측치가 아니라 26번 관측치가 더 모델에서 벗어나는 것으로 보입니다. 하지만 26번 관측치 자체는 평범해 보입니다. 


D1[26,c(1:7)]

# A tibble: 1 x 7
  carat cut     color clarity depth table price
         
1  1.50 Premium G     I1       60.4  55.0  4140


 아마도 이런 일이 일어난 이유는 이 관측치가 비슷한 크기에 비해 가격이 낮기 때문일 것입니다. 그런데 이상치 처리에서 26번이 잡히지 않은 이유는 선형 회귀 모델에서는 가격과 캐럿 (크기)의 관계를 보기 때문이고 이상치 검출은 단지 정규 분포에서 얼마나 벗어났는지를 보기 때문입니다. 이 둘이 서로 다를 수 있다는 점을 염두에 둘 필요가 있습니다. 아무튼 26번 관측치를 제거하면 어떻게 될까요. 알기 위해서 D2 라는 새로운 데이터 셋을 만들겠습니다. 


 그런데 데이터 프레임에서 특정 값을 제거하고 싶다면 어떻게 해야 할까요. 단 하나의 값을 제거하기 위해 subset을 사용할 필요는 없습니다. 그냥 아래처럼 하면 됩니다. 


D2<-d1 span="">


 만약 두 개 이상의 값을 제거하고 싶다면 c() 를 사용하면 됩니다. 

D2<-d1 c="" span="">


 여기서는 하나만 제거하고 진행해 보겠습니다. 


model=lm(price~carat, data=D2)
summary(model)

par(mfrow=c(2,2))
plot(model)

influence.measures(model)

require("olsrr")
ols_cooksd_barplot(model)
ols_dfbetas_panel(model)
ols_dffits_plot(model)

 위의 코드를 입력합니다. 

> model=lm(price~carat, data=D2)
> summary(model)

Call:
lm(formula = price ~ carat, data = D2)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2858.1 -1221.9   106.1   925.4  4316.4 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -2465.9      420.5  -5.865 4.31e-07 ***
carat         8001.7      433.7  18.448  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1557 on 47 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8787, Adjusted R-squared:  0.8761 
F-statistic: 340.3 on 1 and 47 DF,  p-value: < 2.2e-16

> par(mfrow=c(2,2))
> plot(model)
> influence.measures(model)
Influence measures of
 lm(formula = price ~ carat, data = D2) :

     dfb.1_ dfb.cart   dffit cov.r   cook.d    hat inf
1  -0.01613  0.00780 -0.0196 1.069 1.96e-04 0.0243    
2  -0.04739  0.02571 -0.0548 1.067 1.53e-03 0.0262    
3  -0.00834 -0.01392 -0.0406 1.065 8.40e-04 0.0231    
4   0.09825 -0.07022  0.1014 1.075 5.22e-03 0.0392    
5  -0.06707 -0.02973 -0.1770 1.002 1.55e-02 0.0210    
6  -0.00972 -0.00431 -0.0257 1.065 3.36e-04 0.0210    
7  -0.27033  0.60309  0.7564 0.756 2.42e-01 0.0560   *
8   0.02487 -0.00602  0.0378 1.063 7.31e-04 0.0209    
9   0.10421 -0.22950 -0.2863 1.045 4.07e-02 0.0571    
10  0.01140 -0.00723  0.0123 1.077 7.72e-05 0.0312    
11  0.01300 -0.10007 -0.1688 1.038 1.43e-02 0.0315    
12  0.02263  0.13650  0.2952 0.934 4.16e-02 0.0260    
13  0.12745 -0.09251  0.1308 1.070 8.67e-03 0.0408    
14 -0.07820  0.30590  0.4596 0.863 9.63e-02 0.0366   *
15  0.00535 -0.03604 -0.0598 1.073 1.82e-03 0.0321    
16 -0.03824  0.01250 -0.0537 1.061 1.47e-03 0.0216    
17 -0.05857 -0.08606 -0.2633 0.943 3.33e-02 0.0228    
18 -0.26655  0.43110  0.4702 1.122 1.09e-01 0.1280   *
19  0.12903 -0.28065 -0.3484 1.019 5.95e-02 0.0582    
20  0.08406 -0.06146  0.0861 1.081 3.77e-03 0.0416    
21 -0.34804  0.50808  0.5318 1.309 1.42e-01 0.2336   *
22 -0.06264 -0.02776 -0.1653 1.010 1.36e-02 0.0210    
23  0.09900 -0.07186  0.1016 1.077 5.25e-03 0.0408    
24 -0.21603  0.34417  0.3730 1.165 6.97e-02 0.1373   *
25 -0.14235  0.03770 -0.2120 0.976 2.20e-02 0.0211    
26  0.12138 -0.08810  0.1246 1.071 7.87e-03 0.0408    
27  0.01358  0.14263  0.2917 0.942 4.07e-02 0.0268    
28 -0.05521  0.01695 -0.0790 1.054 3.17e-03 0.0214    
29 -0.00991 -0.05978 -0.1293 1.043 8.43e-03 0.0260    
30  0.15493 -0.11789  0.1570 1.072 1.25e-02 0.0468    
31  0.11956 -0.08612  0.1230 1.071 7.67e-03 0.0400    
32  0.00866  0.01445  0.0421 1.065 9.04e-04 0.0231    
33 -0.03487  0.01853 -0.0407 1.069 8.43e-04 0.0258    
34  0.12949 -0.09469  0.1326 1.070 8.91e-03 0.0416    
35  0.01283 -0.00710  0.0147 1.072 1.10e-04 0.0266    
36  0.10254 -0.07498  0.1050 1.077 5.60e-03 0.0416    
37 -0.03083  0.01980 -0.0331 1.077 5.59e-04 0.0318    
38 -0.01899  0.01261 -0.0201 1.080 2.07e-04 0.0336    
39  0.02200 -0.19933 -0.3423 0.924 5.54e-02 0.0309    
40  0.05171 -0.19270 -0.2861 0.991 4.00e-02 0.0374    
41  0.06248 -0.04466  0.0645 1.082 2.12e-03 0.0392    
42  0.04131 -0.02879  0.0430 1.082 9.43e-04 0.0370    
43 -0.05534  0.02530 -0.0688 1.060 2.41e-03 0.0236    
44 -0.05375 -0.02022 -0.1356 1.027 9.22e-03 0.0209    
45  0.06848 -0.04894  0.0706 1.081 2.54e-03 0.0392    
46  0.09921 -0.07254  0.1016 1.078 5.25e-03 0.0416    
47 -0.09953  0.00447 -0.1810 0.996 1.62e-02 0.0204    
48  0.15782 -0.12082  0.1598 1.072 1.29e-02 0.0477    
49 -0.03174 -0.05299 -0.1544 1.023 1.19e-02 0.0231    



 여기서는 간략하게 잔차도만 보겠습니다. 이렇게 보니 어느 정도 모델이 맞는 것 같고 7, 14번 같은 일부 값을 추가로 제거하면 얼추 적당한 선형 회귀식이 완성될 것 같습니다. 7,14번은 이상치로 의심되었던 값이기도 합니다. 하지만 이상치에 해당하는 값을 미리 제거하고 영향력 관측치로 생각되는 값을 제거해 나가다보면 오히려 더 큰 오류를 야기할 수 있습니다. 


 본래 앞서 봤듯이 다이아몬드의 캐럿과 가격은 선형관계가 성립되지 않습니다. 다이아몬드의 크기가 커질 수록 가격은 급격히 상승할 뿐 아니라 컷팅이나 채도, 색 같은 다른 중요한 요소가 가격에 큰 영향을 미치기 때문입니다. 그런데 이와 같은 사실을 무시하고 단지 이상치나 영향력 관측치로 보고 모델에 맞지 않는 값을 제거하다 보면 본래 있을 수 없던 선형 비례 관계가 성립될 수 있습니다. 다시 말해 데이터를 잘못 해석할 수 있는 것이죠. 


 모델에 맞지 않는 관측값이 있다면 가능성은 두 가지입니다. 첫 번째는 모델이 잘못된 것이고 두 번째는 관측값이 맞지 않는 것입니다. 우리는 후자의 가능성을 생각하기 쉽지만 사실은 모델이 맞지 않을 가능성도 높습니다. 이 경우 무리한 관측값 제거를 시도하기 보다는 방법을 바꿔서 데이터를 분석하는 것이 맞습니다. 


 물론 관측값이 분명히 잘못된 경우라면 당연히 제거해야 할 것이고 (예를 들어 몸무게 800kg은 80.0kg의 오류일 가능성이 클 것입니다. 1710cm도 마찬가지겠죠) 이를 알아보는 데 요긴한 방법이 이상치 검출이라는 점은 분명합니다. 



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통계 공부는 어떻게 하는 것이 좋을까?

 사실 저도 통계 전문가가 아니기 때문에 이런 주제로 글을 쓰기가 다소 애매하지만, 그래도 누군가에게 도움이 될 수 있다고 생각해서 글을 올려봅니다. 통계학, 특히 수학적인 의미에서의 통계학을 공부하게 되는 계기는 사람마다 다르긴 하겠지만, 아마도 비교적 흔하고 난감한 경우는 논문을 써야 하는 경우일 것입니다. 오늘날의 학문적 연구는 집단간 혹은 방법간의 차이가 있다는 것을 객관적으로 보여줘야 하는데, 그려면 불가피하게 통계적인 방법을 쓸 수 밖에 없게 됩니다. 이런 이유로 분야와 주제에 따라서는 아닌 경우도 있겠지만, 상당수 논문에서는 통계학이 들어가게 됩니다.   문제는 데이터를 처리하고 분석하는 방법을 익히는 데도 상당한 시간과 노력이 필요하다는 점입니다. 물론 대부분의 학과에서 통계 수업이 들어가기는 하지만, 그것만으로는 충분하지 않은 경우가 많습니다. 대학 학부 과정에서는 대부분 논문 제출이 필요없거나 필요하다고 해도 그렇게 높은 수준을 요구하지 않지만, 대학원 이상 과정에서는 SCI/SCIE 급 논문이 필요하게 되어 처음 논문을 작성하는 입장에서는 상당히 부담되는 상황에 놓이게 됩니다.  그리고 이후 논문을 계속해서 쓰게 될 경우 통계 문제는 항상 나를 따라다니면서 괴롭히게 될 것입니다.  사정이 이렇다보니 간혹 통계 공부를 어떻게 하는 것이 좋겠냐는 질문이 들어옵니다. 사실 저는 통계 전문가라고 하기에는 실력은 모자라지만, 대신 앞서서 삽질을 한 경험이 있기 때문에 몇 가지 조언을 해줄 수 있을 것 같습니다.  1. 입문자를 위한 책을 추천해달라  사실 예습을 위해서 미리 공부하는 것은 추천하지 않습니다. 기본적인 통계는 학과별로 다르지 않더라도 주로 쓰는 분석방법은 분야별로 상당한 차이가 있을 수 있어 결국은 자신이 주로 하는 부분을 잘 해야 하기 때문입니다. 그러기 위해서는 학과 커리큘럼에 들어있는 통계 수업을 듣는 것이 더 유리합니다. 잘 쓰지도 않을 방법을 열심히 공부하는 것은 아무래도 효율

150년 만에 다시 울린 희귀 곤충의 울음 소리

  ( The katydid Prophalangopsis obscura has been lost since it was first collected, with new evidence suggesting cold areas of Northern India and Tibet may be the species' habitat. Credit: Charlie Woodrow, licensed under CC BY 4.0 ) ( The Museum's specimen of P. obscura is the only confirmed member of the species in existence. Image . Credit: The Trustees of the Natural History Museum, London )  과학자들이 1869년 처음 보고된 후 지금까지 소식이 끊긴 오래 전 희귀 곤충의 울음 소리를 재현하는데 성공했습니다. 프로팔랑곱시스 옵스큐라 ( Prophalangopsis obscura)는 이상한 이름만큼이나 이상한 곤충으로 매우 희귀한 메뚜기목 곤충입니다. 친척인 여치나 메뚜기와는 오래전 갈라진 독자 그룹으로 매우 큰 날개를 지니고 있으며 인도와 티벳의 고산 지대에 사는 것으로 보입니다.   유일한 표본은 수컷 성체로 2005년에 암컷으로 생각되는 2마리가 추가로 발견되긴 했으나 정확히 같은 종인지는 다소 미지수인 상태입니다. 현재까지 확실한 표본은 수컷 성체 한 마리가 전부인 미스터리 곤충인 셈입니다.   하지만 과학자들은 그 형태를 볼 때 이들 역시 울음 소리를 통해 짝짓기에서 암컷을 유인했을 것으로 보고 있습니다. 그런데 높은 고산 지대에서 먼 거리를 이동하는 곤충이기 때문에 낮은 피치의 울음 소리를 냈을 것으로 보입니다. 문제는 이런 소리는 암컷 만이 아니라 박쥐도 잘 듣는다는 것입니다. 사실 이들은 중생대 쥐라기 부터 존재했던 그룹으로 당시에는 박쥐가 없어 이런 방식이 잘 통했을 것입니다. 하지만 신생대에 박쥐가 등장하면서 플로팔랑곱

9000년 전 소녀의 모습을 복원하다.

( The final reconstruction. Credit: Oscar Nilsson )  그리스 아테나 대학과 스웨덴 연구자들이 1993년 발견된 선사 시대 소녀의 모습을 마치 살아있는 것처럼 복원하는데 성공했습니다. 이 유골은 그리스의 테살리아 지역의 테오페트라 동굴 ( Theopetra Cave )에서 발견된 것으로 연대는 9000년 전으로 추정됩니다. 유골의 주인공은 15-18세 사이의 소녀로 정확한 사인은 알 수 없으나 괴혈병, 빈혈, 관절 질환을 앓고 있었던 것으로 확인되었습니다.   이 소녀가 살았던 시기는 유럽 지역에서 수렵 채집인이 초기 농경으로 이전하는 시기였습니다. 다른 시기와 마찬가지로 이 시기의 사람들도 젊은 시절에 다양한 질환에 시달렸을 것이며 평균 수명 역시 매우 짧았을 것입니다. 비록 젊은 나이에 죽기는 했지만, 당시에는 이런 경우가 드물지 않았을 것이라는 이야기죠.   아무튼 문명의 새벽에 해당하는 시점에 살았기 때문에 이 소녀는 Dawn (그리스어로는  Avgi)라고 이름지어졌다고 합니다. 연구팀은 유골에 대한 상세한 스캔과 3D 프린팅 기술을 적용해서 살아있을 당시의 모습을 매우 현실적으로 복원했습니다. 그리고 그 결과 나타난 모습은.... 당시의 거친 환경을 보여주는 듯 합니다. 긴 턱은 당시를 살았던 사람이 대부분 그랬듯이 질긴 먹이를 오래 씹기 위한 것으로 보입니다.   강하고 억센 10대 소녀(?)의 모습은 당시 살아남기 위해서는 강해야 했다는 점을 말해주는 듯 합니다. 이렇게 억세보이는 주인공이라도 당시에는 전염병이나 혹은 기아에서 자유롭지는 못했기 때문에 결국 평균 수명은 길지 못했겠죠. 외모 만으로 평가해서는 안되겠지만, 당시의 거친 시대상을 보여주는 듯 해 흥미롭습니다.   참고  https://phys.org/news/2018-01-teenage-girl-years-reconstructed.html