회귀모형은 독립변수와 종속변수 사이 (예를 들어 비만과 당뇨, 소득과 교육 수준 등)의 연관성을 알아보는 대표적인 통계적 방법이지만, 사실 여러 가지 가정을 맞추기가 생각보다 어렵습니다. 앞서 소개한 ncvTest 테스트는 오차항간의 등분산성을 보기 위한 것인데, 여기서 유의한 결과가 있다면 이분산성 heteroscedasticity이 있다고 합니다. 이를 알기 위한 또 다른 테스트가 바로 브레슈 페이건 테스트 (Breusch–Pagan test)이며 R에서는 선형회귀 모형 진단에 사용되는 패키지인 lmtest로 진단할 수 있습니다. 이론적인 부분에 대해서는 아래 글을 참조하면 좋을 것 같습니다.
이분산성에 대해서 읽어볼 글 : https://blog.naver.com/yonxman/220950614789
이론은 복잡하지만 테스트는 간단합니다. 여기서는 보스턴 집값과 대기 오염을 보는 간단한 기본 모델로 테스트를 해보겠습니다.
library(lmtest)
library(MASS)
data("Boston", package = "MASS")
data<-boston span="">
model=lm(medv ~ nox, data = data)
summary(model)
bptest(model)
> bptest(model)
studentized Breusch-Pagan test
data: model
BP = 0.80772, df = 1, p-value = 0.3688
브레슈 페이건 테스트에서는 유의하지 않은 결과가 나와 이분산성 문제가 없는 것으로 나타났습니다. 하지만 아직 한 가지 더 거쳐야 하는 검증이 있습니다. 바로 자기 상관성 (auto correlation) 혹은 계열 상관성 (Serial correlation)을 검증하는 것입니다. 이는 각 오차항끼리 서로 상관성을 지니는 경우로 시계열 자료에서 흔히 볼 수 있습니다.
예를 들어 날씨 데이터의 경우 오늘 온도는 전날과 엄청나게 차이나지 않을 것입니다. 주가지수 역시 전날 주가와 오늘 주가가 연동될 것입니다. 반면 내 키나 소득은 버스 옆에 앉은 다른 사람과 완전히 독립적인 관측치입니다. 당연히 전자와 후자는 다른 경우인데 일반적인 선형 회귀 분석은 후자의 경우 적용할 수 있습니다. 자기 연관성을 테스트 하는 대표적인 방법이 더빈 왓슨 테스트 (Durbin–Watson) 입니다. 이론적 설명은 역시 아래 링크를 참조하면 도움이 될 것입니다.
lmtest 패키지에서 테스트 하는 방법은 dwtest 하나면 족합니다.
> dwtest(model)
Durbin-Watson test
data: model
DW = 0.64332, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
더빈 왓슨 테스트는 2가 상관성이 없는 것이며 0이나 4로 가까이 갈수록 상관성이 있는 경우입니다. 0은 양의 상관성, 4는 음의 상관성으로 가까이 가는 것으로 판단합니다. 아무튼 이 경우 매우 상관성이 있는 것으로 나타났습니다. 왜일까요?
생각해보면 별로 놀랄 일이 아닌 게 대기질 관측치는 각 지역별로 상당한 연관성을 가지고 있기 때문입니다. 예를 들어 한 지역과 인근에 있는 지역의 대기질은 비슷하겠죠. 공기는 지역 처럼 확실하게 경계가 지어지는 성질의 물건이 아니니까요. 앞서 살펴봤듯이 사실 집값과 대기질은 선형 비례 관계가 다소 있는 것처럼 보여도 분포가 확실하다고 말하기는 어렵고 잔차 형태도 그다지 적합하지 않았습니다. 그런데다 이런 결과가 나오면 사실 무리하게 선형 회귀 모델에 넣기는 어렵다고 판단해야 하겠죠. 이럴 땐 분석 방법을 바꾸는 편이 더 타당해 보입니다. 이 문제에 대해서는 이후에 더 이야기해 보겠습니다.
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