선형 회귀 모형 (1)

 앞서 설명이 충분한 건 아니었지만, R을 이용한 기본적인 통계 분석 방법에 대해서 설명드린 바 있습니다. 아직은 표면적인 것만 다룬 셈이지만, 이제부터는 다소 난이도가 있는 내용으로 진행할 예정입니다. 중급 이상 통계학에서 핵심이 되는 선형 회귀 분석 (linear regression analysis)에 대한 설명이 그것입니다. 

 회귀 분석은 본래 위치로 돌아온다는 의미로 본래는 영국의 생물학자 프랜시스 골턴에 의해 발표되었습니다. 키가 큰 아버지에서 태어난 아들들이 키가 평균보다 크기는 하지만, 아버지 세대보다는 작아진 것을 보고 골턴은 평범으로의 회귀라는 표현을 사용했는데, 현재 사용되는 선형 회귀 분석과는 사실 관련이 거의 없다는 점이 흥미롭습니다. 현재의 회귀 분석은 본래의 경향으로 다시 돌아오는지를 보는 것보다는 변수 사이에 상관 관계를 밝히는 것이 핵심입니다. 

 우리 주변에는 서로 선형 관계를 지닌 경우를 흔하게 볼 수 있습니다. 예를 들어 뉴턴의 운동법칙이 그렇습니다. 질량 m인 물체에 작용하는 힘이 F 경우 생기는 가속도를 a라고 할 때 F=ma이라는 공식은 중고등학교 물리를 배웠다면 다 이해하고 있을 것입니다. 이 경우 가속도 a가 증가하는데 질량 m이 일정하다면 힘 F 는 가속도 만큼 증가할 것입니다. 물론 반대로 질량이 그대로면 힘이 증가할 수록 가속도가 같이 증가한다고 할 수 있습니다. 다라서 가속도와 힘은 비례 관계가 있습니다. 

 만약 이 공식을 실제 실험에 따라 증명하게 된다면 마찰이나 측정 오차 등 여러 가지 이유로 실제로는 정확하게 비례하지는 않고 측정값마다 조금씩 차이가 존재하게 될 것입니다. 예를 들어 힘이 두 배 증가했는데 가속도는 1.95배 증가하는 경우입니다. 물론 2.01배 증가할 수도 있겠죠. 측정이 아무리 정밀해도 2.00000배 힘을 가하면 2.000000배 가속도가 증가하는 경우는 좀처럼 나오지 않을 것입니다. 이들이 비례 관계에 있다는 점을 통계학적으로 증명하려면 어떻게 해야 할까요. 

  

 가장 간단한 방법은 단순 선형 회귀 모델을 사용하는 것입니다. 선형 회귀의 기본 개념은 X,Y 두 변수가 1차 방정식으로 표현할 수 있는 단순한 관계라는 것입니다. Y=aX+b (a,b는 상수) 가 기본적인 개념입니다. 하지만, 회귀 분석에서 상수는 회귀계수라고 표현하며 기본적으로 β (베타) 값으로 표현합니다. 그래서 사실 아래처럼 표현하게 됩니다. 

 Y = β0 + β1X

 여기서 X/Y는 변수인데, 일반적으로 X에 변화량에 따른 Y의 변화량을 이야기하므로 X를 독립변수, Y를 (X에 변화량에 종속되는 변수라는 의미로) 종속변수라고 표현합니다. 물론 Y가 보통 결과이기 때문에 Y를 결과 변수라고 말할 수 있습니다. β 값의 경우 Y=2X가 아니라 Y=2X+3 같은 관계일수도 있기 때문에 상수항 하나를 더 적어주며 여기에는 0,1,2,3,... 하는 식으로 순서를 구분합니다. 그런데 회귀 분석에서는 여기서 끝이 아닙니다. 앞서 말한 대로 측정 오차 등 여러 가지 이유로 정확하게 선형 관계가 아니라 오차항을 포함하기 때문에 오차항(error term, disturbance term, or noise.)도 넣어 주어야 합니다. 

  Y = β0 + β1X + ε

 관측치가 여러 개인 경우가 대부분이라 오차 역시 여러 개입니다. 동시에 독립변수가 여러 개인 경우도 있습니다. 따라서 최종적으로 회귀 공식은 다음과 같이 됩니다. 

 여기서 i는 관측값의 개수로 1부터 n개까지를 의미합니다. 이를 실제로 그래프로 그려보면 다음과 같을 것입니다. 

(Regression analysis. 출처: 위키피디아)

 솔직히 말해 충분치 않지만, 회귀 분석의 기본 개념에 대해서 일단 알아봤습니다. 다음에는 실제로 R코드를 이용해서 계산하는 방법 대해서 알아보겠습니다. 이 부분은 회귀 분석을 포함해서 기본적인 통계학 지식이 없다면 진행이 어렵기 때문에 어느 정도는 공부를 했다는 가정하에 진행할 것입니다.

 참고로 R을 이용한 선형회귀 분석에 대해서 상세하게 알고 싶은 분들에게 추천할 수 있는 책이 'R을 활용한 선형회귀분석 (강근석/유현조 저)' 입니다. 지금까지 봤던 R 관련 한글 서적 가운데 선형 회귀 분석에 대해서 가장 상세하게 설명이 되어 있습니다. 다만 이미 어느 정도 통계학 지식이 있는 상태에서 봐야 무슨 이야기인지 이해가 가능합니다.