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2018년 4월 2일 월요일

선형회귀 분석 (8)




 앞서 예제에서 선형 회귀 모델이 쉽게 적용되지 않는다는 것을 확인했습니다. 그러면 할 수 있는 일은 다른 방법을 모색하거나 비선형회귀 등 복잡한 모형을 도입해 보는 것입니다. 하지만 그 전에 해야 할 일은 어디서 잘못되었는지 알기 위해 데이터를 다시 뜯어보는 것입니다. 


 결국 많은 답이 데이터에 숨어 있으며 데이터에 대해서 잘 이해할 수록 정확한 결론을 도출해 낼 수 있습니다. 사실 이 경우에는 데이터 분포가 한쪽으로 치우친데다 다이아몬드 크기가 커질 수록 가격을 결정하는 다른 요소들이 많이 작용해서 단순한 예측 모델을 적용할 수 없는 것이 이유일 것입니다. 이를 확인하기 위해서 각 구간별 가격, 크기 분포를 확인해 보겠습니다. 


 다시 ggplot2 패키지를 읽어들인 후 이번에는 10개의 구간별로 carat 을 나눠 가격 분포를 다시 살펴보겠습니다. 앞서 예제에서 쓴 mygroup 함수를 다시 사용해 10개로 나누겠습니다. 

library("ggplot2")

mygroup<-function k="4){</span" y="">
   count=length(y)
   z=rank(y,ties.method = "min")
   return(floor((z-1)/(count/k))+1)
  }

diamonds$carat2<-mygroup carat="" diamonds="" span="">
table(diamonds$carat2)


 여기서 aggregate라는 매우 중요한 함수를 소개합니다. 이 함수를 이용해서 나만의 기능을 가진 다양한 연산 함수를 만들 수 있습니다. 


aggregate(price~carat2,data=diamonds,mean)

 이 코드는 새로 만든 carat2 그룹별로 평균을 구해 데이터프레임 형태로 보여달라는 이야기입니다. 

> aggregate(price~carat2,data=diamonds,mean)
   carat2      price
1       1   655.2940
2       2   750.7332
3       3   922.4984
4       4  1486.0546
5       5  2090.2473
6       6  3095.9929
7       7  5039.2091
8       8  5825.0127
9       9  7944.2637
10     10 12936.2783


 여기서 확장할 수 있는 것은 mean이라는 기능 대신 여러 개의 기능을 지닌 함수를 만들어 넣을 수 있다는 것입니다. myfx이라는 함수를 만들어 평균, 표준편차, 상한값, 하한값을 구해보겠습니다. 

myfx=function(x){
  result=c(mean(x),
           sd(x),
           min(x),
           max(x))
}

aggregate(price~carat2,data=diamonds,myfx)


 이렇게 하면 한 번에 여러가지 값을 구할 수 있으며 원하는 값만큼 더 포함시켜 구할 수 있습니다. 


> aggregate(price~carat2,data=diamonds,myfx)
   carat2    price.1    price.2    price.3    price.4
1       1   655.2940   173.7378   326.0000  2366.0000
2       2   750.7332   190.1553   345.0000  2346.0000
3       3   922.4984   215.3054   410.0000  1992.0000
4       4  1486.0546   430.2606   452.0000  4368.0000
5       5  2090.2473   621.2567   806.0000  6607.0000
6       6  3095.9929   814.0840   945.0000  9182.0000
7       7  5039.2091  1615.5915  1547.0000 16469.0000
8       8  5825.0127  1996.9402  1262.0000 18542.0000
9       9  7944.2637  2901.3972  2327.0000 18806.0000
10     10 12936.2783  3391.1394  3105.0000 18823.0000


 가격만 아니라 캐럿에 대해서도 같은 것을 구할 수 있습니다. 그리고 박스 플롯 등으로 시각화 할 수 있습니다. 


boxplot(price~carat2, outline=FALSE, data=diamonds)


> aggregate(carat~carat2,data=diamonds,myfx)
   carat2    carat.1    carat.2    carat.3    carat.4
1       1 0.29246125 0.02385143 0.20000000 0.31000000
2       2 0.33087712 0.01081135 0.32000000 0.35000000
3       3 0.39554695 0.01867721 0.36000000 0.42000000
4       4 0.49700353 0.03086971 0.43000000 0.53000000
5       5 0.62134302 0.06467172 0.54000000 0.70000000
6       6 0.78512112 0.07346134 0.71000000 0.90000000
7       7 0.98613037 0.03609363 0.91000000 1.01000000
8       8 1.06254319 0.03560108 1.02000000 1.13000000
9       9 1.31185889 0.13126791 1.14000000 1.51000000
10     10 1.85988565 0.30804080 1.52000000 5.01000000


 이렇게 보니 여러 가지를 확인할 수 있습니다. 1-3구간 까지는 선형으로 증가하던 가격이 4구간에서 한번 크게 증가하고 다시 7,9 구간에서 더 큰 폭으로 증가하는 것 같습니다. 이렇게 증가폭이 달라지는 만큼 하나의 선형 회귀 모델을 사용해서 회귀 계수를 얻는 방식이 잘 통하지 않는 것입니다. 쉽게 말해 기울기가 자꾸 변하는 그래프인 셈입니다. 


 여기서 한 가지 더 알아보기 위해 이번에는 10개의 그룹으로 균등하게 나누는 대신 특정값을 기준으로 나누는  cut breaks  함수를 사용해 보겠습니다. 0.5캐럿 이하, 0.5-1 캐럿, 1-2캐럿, 2캐럿 이상 이렇게 네 그룹으로 나누려면 어떻게 하는지 아래 함수에서 볼 수 있습니다. 5.01캐럿 다이아몬드까지 있으므로 중요한 점은 마지막 breaks 지점은 이것보다 크게 표시해야 한다는 것입니다. 그리고 각 그룹은 labels 함수로 이름을 정할 수 있습니다. 

diamonds$carat3=cut(diamonds$carat,breaks=c(0,0.5,1,2,6),labels = c(1,2,3,4))
table(diamonds$carat3)

 역시 carat3에 대해서도 같은 방식으로 알아보겠습니다. 


> aggregate(price~carat3,data=diamonds,myfx)
  carat3    price.1    price.2    price.3    price.4
1      1   839.7181   310.0636   326.0000  3378.0000
2      2  2811.3427  1302.8293   806.0000 16469.0000
3      3  7607.7241  3297.9883  1262.0000 18818.0000
4      4 14951.2504  2703.5945  5203.0000 18823.0000
> aggregate(carat~carat3,data=diamonds,myfx)
  carat3    carat.1    carat.2    carat.3    carat.4
1      1 0.35482569 0.06489307 0.20000000 0.50000000
2      2 0.72203473 0.15586754 0.51000000 1.00000000
3      3 1.25632870 0.24508433 1.01000000 2.00000000
4      4 2.15368449 0.23670424 2.01000000 5.01000000


이렇게 보면 몇 개의 그룹으로 나눠보면 선형 모델이 가능할 것 같습니다. 물론 꼭 이런 방법을 고집해야 하는 것은 아니지만, 한 번 해보겠습니다. subset 함수로 0.5 캐럿 이하 집단을 구해보겠습니다. 


diamonds1<-subset carat="" diamonds="" span="">
model=lm(price~carat, data=diamonds1)
summary(model)

par(mfrow=c(2,2))
plot(model)


> diamonds1<-subset carat="" diamonds="" span="">
> model=lm(price~carat, data=diamonds1)
> summary(model)

Call:
lm(formula = price ~ carat, data = diamonds1)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-753.67 -145.77  -11.56  122.74 2040.33 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -377.353      8.721  -43.27   <2e-16 span="">
carat       3430.054     24.177  141.88   <2e-16 span="">
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 215.9 on 18930 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5153, Adjusted R-squared:  0.5153 
F-statistic: 2.013e+04 on 1 and 18930 DF,  p-value: < 2.2e-16




 이것도 플롯의 모양의 독특해보이지만, 이전 모델보다는 훨씬 나은 결과입니다. 참고로 줄무늬 처럼 나타나는 이유는 가격은 비교적 연속 분포지만, 캐럿은 사실 0.01단위로 끊어지는 변수이기 때문입니다. 이걸 보니 더 작게 그룹을 나누면 회귀 계수가 얼추 맞을 것 같습니다. 0.2-0.3캐럿 그룹을 구해봅시다. 


> diamonds1<-subset carat="" diamonds="" span="">
> model=lm(price~carat, data=diamonds1)
> summary(model)

Call:
lm(formula = price ~ carat, data = diamonds1)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-336.71 -107.49   -4.88   97.90 1690.29 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -188.44      26.22  -7.186 7.87e-13 ***
carat        2880.53      92.29  31.213  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 149 on 4201 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1883, Adjusted R-squared:  0.1881 
F-statistic: 974.3 on 1 and 4201 DF,  p-value: < 2.2e-16

> par(mfrow=c(2,2))
> plot(model)


 이 정도면 몇 개 예측에서 크게 벗어나는 값 몇 개만 제외시키면 회귀 계수를 맞출 수 있을 것 같습니다. 회귀 계수는 이 구간에서 2880이므로 0.1캐럿 증가시 288달러 가격 증가로 볼 수 있습니다. 


 하지만 이것이 올바른 문제 해결일까요? 아닐 것입니다. 이렇게 잘게 잘라서 여러 개의 회귀 계수를 구하는 것이 과연 어떤 효용성이 있을까요? 오히려 10개 구간으로 잘라 가장 낮은 구간 대비 가장 높은 구간의 크기가 6배 크고 가격이 20배 비싸다는 쪽이 특별한 통계 분석이 없더라도 직관적으로 이해가 더 쉽습니다. 




 아무튼 이런 삽질(?)을 통해서 데이터의 특성을 더 잘 이해할 수 있게 되었고 처음 생각과는 다르게 단순하게 분석할 수 없다는 것도 알았습니다. 다음에는 샘플 숫자를 줄여 회귀 분석에 다른 예제들을 더 해보겠습니다. 부단한 삽질과 노력만이 실력이 느는 지름길일 것입니다. 

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