모델 선택은 분석에 있어 가장 어려운 과정이 될 수 있습니다. 이것 저것 변수를 많이 넣게 되면 오히려 각 변수간 상호 작용의 가능성이 커지고 현상을 설명하는 모델이 너무 복잡해지거나 과보정이 되어 정확한 상관 관계를 보여주지 못할 수 있습니다. 반대로 너무 변수를 적게 넣으면 다른 교란 변수에 의한 영향력을 보정할 수 없게 됩니다. 경우에 따라서는 저자의 주장에 적당한 모델을 선택해 P값을 해킹하는 일이 발생할 수도 있습니다.
따라서 연구에 따라서 모델 선택을 어떻게 했는지가 매우 중요한 이슈가 될 수 있습니다. 논문 심사에서 중요하게 보는 문제가 될 수 있기 때문에 구체적으로 왜 이렇게 모델을 선택하고 중요한 변수를 넣거나 넣지 않은 이유를 설명할 수 있어야 합니다. 로지스틱 회귀 분석에서 모델 선정에 중요한 파라미터는 바로 AIC (akaike information criterion)입니다. AIC 가 낮을수록 좋은 모델이라고 할 수 있습니다. 따라서 AIC는 summary()에서 기본으로 보여줍니다.
library(moonBook)
library(mlbench)
data(PimaIndiansDiabetes)
pima <- pimaindiansdiabetes="" span="">
pima<-subset pima="" pressure="">0)
pima<-subset mass="" pima="">0)
pima<-subset glucose="" pima="">0)
pima$obesity[pima$mass>=30]=2
pima$obesity[pima$mass<30 span="">
pima$obesity[pima$mass<25 span="">
table(pima$obesity)
out=glm(diabetes~factor(obesity)+pressure+glucose+age+pedigree,family=binomial,data=pima)
summary(out)
extractOR(out)
> out=glm(diabetes~factor(obesity)+pressure+glucose+age+pedigree,family=binomial,data=pima)
> summary(out)
Call:
glm(formula = diabetes ~ factor(obesity) + pressure + glucose +
age + pedigree, family = binomial, data = pima)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.8133 -0.7259 -0.3803 0.7219 2.5514
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -8.223152 0.831018 -9.895 < 2e-16 ***
factor(obesity)1 1.225678 0.471464 2.600 0.009330 **
factor(obesity)2 2.174498 0.441818 4.922 8.58e-07 ***
pressure -0.001569 0.008389 -0.187 0.851656
glucose 0.034531 0.003597 9.600 < 2e-16 ***
age 0.032288 0.008562 3.771 0.000163 ***
pedigree 0.984527 0.305211 3.226 0.001257 **
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 931.94 on 723 degrees of freedom
Residual deviance: 676.98 on 717 degrees of freedom
AIC: 690.98
Number of Fisher Scoring iterations: 5
> extractOR(out)
OR lcl ucl p
(Intercept) 0.00 0.00 0.00 0.0000
factor(obesity)1 3.41 1.35 8.58 0.0093
factor(obesity)2 8.80 3.70 20.91 0.0000
pressure 1.00 0.98 1.01 0.8517
glucose 1.04 1.03 1.04 0.0000
age 1.03 1.02 1.05 0.0002
pedigree 2.68 1.47 4.87 0.0013
여기서 AIC는 690.98입니다. 만약 여기서 혈압 (pressure)를 빼면 어떨까요?
> out=glm(diabetes~factor(obesity)+glucose+age+pedigree,family=binomial,data=pima)
> summary(out)
Call:
glm(formula = diabetes ~ factor(obesity) + glucose + age + pedigree,
family = binomial, data = pima)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.8102 -0.7283 -0.3808 0.7295 2.5530
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -8.306914 0.701427 -11.843 < 2e-16 ***
factor(obesity)1 1.224595 0.471094 2.599 0.00934 **
factor(obesity)2 2.165589 0.438837 4.935 8.02e-07 ***
glucose 0.034457 0.003573 9.644 < 2e-16 ***
age 0.031815 0.008175 3.892 9.95e-05 ***
pedigree 0.985863 0.305021 3.232 0.00123 **
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 931.94 on 723 degrees of freedom
Residual deviance: 677.01 on 718 degrees of freedom
AIC: 689.01
그 결과 AIC는 689.01으로 소폭 감소했습니다. 그 다음엔 가족력 (pedigree)을 빼보겠습니다.
> out=glm(diabetes~factor(obesity)+glucose+age,family=binomial,data=pima)
> summary(out)
Call:
glm(formula = diabetes ~ factor(obesity) + glucose + age, family = binomial,
data = pima)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.2393 -0.7657 -0.3874 0.7429 2.6414
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -7.911011 0.680699 -11.622 < 2e-16 ***
factor(obesity)1 1.249056 0.474545 2.632 0.008486 **
factor(obesity)2 2.219298 0.442638 5.014 5.34e-07 ***
glucose 0.034991 0.003523 9.932 < 2e-16 ***
age 0.030844 0.008092 3.812 0.000138 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 931.94 on 723 degrees of freedom
Residual deviance: 687.99 on 719 degrees of freedom
AIC: 697.99
Number of Fisher Scoring iterations: 5
그 결과 697.99으로 소폭 증가했습니다. 이 세 모델은 AIC가 비슷하지만 그래도 두 번째 모델이 가장 작다는 결론을 내릴 수 있습니다. 하지만 어떤 변수를 넣고 뺄지는 만약 변수의 숫자가 매우 많아지면 상당한 복잡한 문제가 됩니다. 당연히 이를 자동화할 수 있는 방법이 있는데 바로 단계적 (stepwise model selection)으로 모델을 결정하는 것입니다. R에서는 step ()을 이용해서 구현할 수 있으며 가장 많은 모델에서 하나씩 줄여나가며 최적의 조합을 찾는 backward selection과 반대로 하나씩 변수를 추가해가면서 최적의 모델을 찾는 forward selection 두 가지 방법이 있습니다.
우선 5개의 변수를 가진 모델에서 하나씩 줄여나가는 backward 방식을 사용해 보겠습니다.
full.model=glm(diabetes~factor(obesity)+pressure+glucose+age+pedigree,family=binomial,data=pima)
reduce.model=step(full.model,direction = "backward")
우선 가장 변수가 많은 모델을 결정한 다음 이를 step에 넣고 backward로 방향을 정해줍니다.
> reduce.model=step(full.model,direction = "backward")
Start: AIC=690.98
diabetes ~ factor(obesity) + pressure + glucose + age + pedigree
Df Deviance AIC
- pressure 1 677.01 689.01
- pedigree 1 687.91 699.91
- age 1 691.44 703.44
- factor(obesity) 2 721.17 731.17
- glucose 1 793.36 805.36
Step: AIC=689.01
diabetes ~ factor(obesity) + glucose + age + pedigree
Df Deviance AIC
- pedigree 1 687.99 697.99
- age 1 692.36 702.36
- factor(obesity) 2 722.21 730.21
- glucose 1 794.37 804.37
선정된 모델은 summary로 더 간결하게 알 수 있습니다.
summary(reduce.model)
> summary(reduce.model)
Call:
glm(formula = diabetes ~ factor(obesity) + glucose + age + pedigree,
family = binomial, data = pima)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.8102 -0.7283 -0.3808 0.7295 2.5530
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -8.306914 0.701427 -11.843 < 2e-16 ***
factor(obesity)1 1.224595 0.471094 2.599 0.00934 **
factor(obesity)2 2.165589 0.438837 4.935 8.02e-07 ***
glucose 0.034457 0.003573 9.644 < 2e-16 ***
age 0.031815 0.008175 3.892 9.95e-05 ***
pedigree 0.985863 0.305021 3.232 0.00123 **
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 931.94 on 723 degrees of freedom
Residual deviance: 677.01 on 718 degrees of freedom
AIC: 689.01
Number of Fisher Scoring iterations: 5
선택된 모델은 앞서 본 두 번째 모델입니다. 반대로 forward의 경우 처음에는 변수가 하나도 없는 모델에서 시작해야 합니다. scope에 full model을 적어주고 중간 결과를 생략하기 위해 trace = 0을 표기했습니다.
model1=glm(diabetes~1,family=binomial,data=pima)
forward.model=step(model1, direction = "forward",
scope=(diabetes~factor(obesity)+pressure+glucose+age+pedigree), trace = 0)
summary(forward.model)
> summary(forward.model)
Call:
glm(formula = diabetes ~ glucose + factor(obesity) + age + pedigree,
family = binomial, data = pima)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.8102 -0.7283 -0.3808 0.7295 2.5530
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -8.306914 0.701427 -11.843 < 2e-16 ***
glucose 0.034457 0.003573 9.644 < 2e-16 ***
factor(obesity)1 1.224595 0.471094 2.599 0.00934 **
factor(obesity)2 2.165589 0.438837 4.935 8.02e-07 ***
age 0.031815 0.008175 3.892 9.95e-05 ***
pedigree 0.985863 0.305021 3.232 0.00123 **
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 931.94 on 723 degrees of freedom
Residual deviance: 677.01 on 718 degrees of freedom
AIC: 689.01
Number of Fisher Scoring iterations: 5
역시 같은 결과가 나왔습니다. stepwise 방식은 널리 사용되기는 하지만 사실 만능은 아닙니다. AIC와 독립적으로 결과 변수를 설명하는데 매우 중요한 원인이 되는 변수가 있을 수 있으며 이를 빼는 것이 반드시 좋은 것이 아닐 수 있기 때문입니다. stepwise 방식을 사용할 경우 모델 선정에서 주관적으로 결정한 것이 아니라 객관적인 기준을 가지고 선정한 인상을 줄 수 있지만, 이 역시 사용자가 주관적으로 특정 변수를 뺄 가능성은 얼마든지 존재합니다. 따라서 필수적인 방식은 아니지만, 모델 선정에 있어 참고할 수 있는 중요한 방법인 점은 분명합니다.
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