앞서 영향력이 있는 관측치에 대해서 이야기했습니다. 이는 관측치 가운데 하나가 전체 모델이 큰 영향을 주는 경우를 이야기 합니다. 예를 들어 어린이의 나이와 키의 상관 관계를 보려고 하는데, 키가 180cm인 8세 남자아이가 있다면 어떻게 될까요? 나이에 따라 키가 증가한다는 회귀 모델에 상당한 영향을 주게 될 것입니다. 9세, 10세 소아보다 키가 더 클 테니까요.
사실 이런 관측치는 이상치 (outlier)에 속한다고 할 수 있으며 뭔가 측정이 잘못된 것이 아닌가 살펴봐야 합니다. 정말 말이 안되는 수치인 경우 기록이나 측정이 잘못된 것으로 봐야 하겠죠. 하지만 정상 범위에 들어가는데도 모델에 영향을 추는 관측치는 존재합니다. 이들을 어떻게 확인하고 적절히 처리하는 것이 통계 분석에서 중요합니다.
앞서 지렛값으로 표현한 영향력이 큰 값을 알아보기 위해서 쿡의 거리를 예로 들었습니다. 쿡의 거리는 가장 널리 사용되는 영향력 지표로 R의 잔차도에서 기본값으로 보여줍니다. 이는 해당 관측값이 전체 최소제곱추정량에 미치는 영향력을 보여주는 지표입니다. 쿡의 거리에 대해서는 전문 통계 서적을 참조해 주십시요.
쿡의 거리가 1이 넘으면 상당한 영향력을 끼치는 관측값이기 때문에 해당 값을 다시 확인해야 합니다. 하지만 이것만으로 판단이 안되는 애매한 크기의 관측값이 있을 수 있습니다. 추가로 볼 수 있는 값으로 DFBETAS (Difference in betas)가 있습니다. 이는 해당 관측치의 개별 베타 값에 대한 영향력 지표입니다. 반대로 적합값(fitted value)에 대한 영향력은 DFFITS (difference in Standardized Fits)라고 합니다. 마지막으로 베타값의 분상 공분상 행렬의 Cov(b^) 추정값에 대한 해당 관측치에 대한 영향력을 보기 위해 COVRATIO 를 확인할 수 있습니다.
실제로 이를 구해보겠습니다. 역시 앞의 예제를 그대로 활용합니다. 쿡의 거리를 구하는 방법은 cooks.distance() 입니다.
set.seed(1234)
x<-rnorm span="">
set.seed(4567)
b<-rnorm span="">
y=3*x+b
y
model=lm(y~x)
> cooks.distance(model)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.600136e-02 2.964722e-02 9.460372e-04 8.310767e-03 4.270502e-02 6.912472e-02 6.886873e-04 3.115780e-06 4.954109e-03 3.004645e-02 2.442558e-02 1.964249e-02 5.583533e-03 4.866320e-04
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
8.254979e-05 3.526836e-04 3.374894e-05 1.059867e-02 6.275987e-02 6.292508e-01 2.222316e-07 2.441922e-03 1.082112e-03 8.162240e-03 3.462975e-02 2.718459e-02 1.229875e-03 5.773949e-05
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
5.728208e-04 6.816683e-03 1.745361e-01 1.641478e-03 8.014061e-03 1.318513e-02 1.530960e-02 4.621449e-02 1.327900e-01 2.454684e-03 4.217183e-04 1.017895e-05 6.901388e-02 5.422216e-05
43 44 45 46 47 48 49 50
3.066727e-03 2.577556e-02 3.020307e-03 1.466131e-03 5.275885e-04 1.944129e-02 1.778459e-02 9.060604e-03
역시 다른 값들도 기본 함수로 정의되어 있어 covratio(), dffits(), dfbetas()로 확인할 수 있습니다.
> covratio(model)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1.0166823 1.0049375 1.1346557 1.1699503 0.9965723 0.9586003 1.0617766 1.0645262 1.0435610 0.9677118 0.9608814 1.0121283 1.0460037 1.0703567 1.1238113 1.0662976 1.0642407 1.0343993
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
0.8519556 1.1391000 1.0741355 1.0537654 1.0595996 1.0714466 0.9305887 1.0420920 1.0927978 1.0734085 1.0677548 1.0483295 0.9620704 1.0571891 1.0343154 1.0079963 1.0812999 0.9616953
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1.0408390 1.0818220 1.0632316 1.0642522 1.1257242 1.0749655 1.0579127 0.9600232 1.0631681 1.0671351 1.0750717 1.0370244 0.9890301 1.0254304
> dffits(model)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-0.2291204281 -0.2453109669 0.0430520461 0.1277476627 0.2955225946 0.3800179151 0.0367497143 -0.0024701769 -0.0989914300 0.2487259944 0.2243702038 0.1990030065
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
-0.1050949025 0.0308817921 -0.0127148411 0.0262888228 -0.0081299574 0.1453013653 -0.3709983753 -1.1608907594 -0.0006596997 -0.0693254154 -0.0460849910 0.1269263411
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
0.2694083447 0.2335018140 -0.0491017533 0.0106340228 -0.0335084957 -0.1161571004 0.6096307501 -0.0567922802 -0.1262296725 0.1628893614 0.1740890035 -0.3096151226
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
-0.5234976052 -0.0694172431 -0.0287498446 -0.0044647730 -0.3717957967 0.0103049914 0.0776965550 -0.2305833479 0.0770783821 0.0536425808 0.0321543311 -0.1972341286
49 50
0.1900826351 -0.1344516184
> dfbetas(model)
(Intercept) x
1 -0.1570817397 1.494553e-01
2 0.1484953764 -1.570898e-01
3 -0.0364130007 3.740498e-02
4 0.1182153166 -1.159286e-01
5 -0.2001461266 2.096813e-01
6 -0.2688153939 2.805736e-01
7 0.0066804405 -5.055585e-03
8 -0.0003720607 2.623403e-04
9 -0.0168705658 1.248587e-02
10 0.1208673975 -1.110122e-01
11 0.0162163131 -6.179515e-03
12 0.1126176355 -1.051579e-01
13 -0.0407510478 3.637243e-02
14 -0.0144993138 1.570570e-02
15 0.0104941742 -1.080511e-02
16 -0.0084720012 9.577857e-03
17 -0.0008993268 5.366172e-04
18 0.0730275205 -6.732945e-02
19 -0.1640298329 1.489647e-01
20 1.0939724976 -1.110269e+00
21 0.0003423443 -3.672519e-04
22 -0.0060733635 2.974966e-03
23 -0.0014063373 -6.576974e-04
24 -0.0875346099 9.156247e-02
25 0.0829210138 -7.135995e-02
26 0.1819901253 -1.752567e-01
27 0.0359036534 -3.736747e-02
28 0.0061965148 -5.803326e-03
29 0.0136239341 -1.498109e-02
30 -0.0605676137 5.606865e-02
31 -0.5172241864 5.311547e-01
32 -0.0040013008 1.460573e-03
33 -0.0408410483 3.545182e-02
34 0.0162223601 -8.948521e-03
35 0.1441227724 -1.396056e-01
36 -0.2062328317 1.956853e-01
37 -0.4769913543 4.668541e-01
38 -0.0515460384 4.941240e-02
39 0.0038541638 -5.126033e-03
40 -0.0002652832 6.544753e-05
41 0.3304046393 -3.377071e-01
42 0.0062958962 -5.924280e-03
43 0.0355513253 -3.242215e-02
44 0.0343504111 -4.452576e-02
45 0.0434071475 -4.051154e-02
46 0.0292439987 -2.720100e-02
47 0.0203733341 -1.923899e-02
48 -0.1392881925 1.328956e-01
49 0.0237734851 -1.530499e-02
50 -0.0127188011 6.712592e-03
참고로 창 크기를 옆으로 늘리면 1:1로 밀리지 않고 매칭할 수 있습니다. 아무튼 이렇게 일일이 확인하면 번거로우므로 실제로는 이를 한 번에 확인할 수 있는 influence.measures() 함수를 사용하게 됩니다. 아래는 값들이 붙었는데 R에서는 잘 확인이 될 것입니다. * 표시는 영향력이 의심되는 경우입니다.
> influence.measures(model)
Influence measures of
lm(formula = y ~ x) :
dfb.1_ dfb.x dffit cov.r cook.d hat inf
1 -0.157082 1.49e-01 -0.22912 1.017 2.60e-02 0.0348
2 0.148495 -1.57e-01 -0.24531 1.005 2.96e-02 0.0339
3 -0.036413 3.74e-02 0.04305 1.135 9.46e-04 0.0816 *
4 0.118215 -1.16e-01 0.12775 1.170 8.31e-03 0.1133 *
5 -0.200146 2.10e-01 0.29552 0.997 4.27e-02 0.0403
6 -0.268815 2.81e-01 0.38002 0.959 6.91e-02 0.0440
7 0.006680 -5.06e-03 0.03675 1.062 6.89e-04 0.0204
8 -0.000372 2.62e-04 -0.00247 1.065 3.12e-06 0.0202
9 -0.016871 1.25e-02 -0.09899 1.044 4.95e-03 0.0203
10 0.120867 -1.11e-01 0.24873 0.968 3.00e-02 0.0250
11 0.016216 -6.18e-03 0.22437 0.961 2.44e-02 0.0200
12 0.112618 -1.05e-01 0.19900 1.012 1.96e-02 0.0277
13 -0.040751 3.64e-02 -0.10509 1.046 5.58e-03 0.0227
14 -0.014499 1.57e-02 0.03088 1.070 4.87e-04 0.0270
15 0.010494 -1.08e-02 -0.01271 1.124 8.25e-05 0.0720
16 -0.008472 9.58e-03 0.02629 1.066 3.53e-04 0.0231
17 -0.000899 5.37e-04 -0.00813 1.064 3.37e-05 0.0201
18 0.073028 -6.73e-02 0.14530 1.034 1.06e-02 0.0255
19 -0.164030 1.49e-01 -0.37100 0.852 6.28e-02 0.0238 *
20 1.093972 -1.11e+00 -1.16089 1.139 6.29e-01 0.2344 *
21 0.000342 -3.67e-04 -0.00066 1.074 2.22e-07 0.0290
22 -0.006073 2.97e-03 -0.06933 1.054 2.44e-03 0.0200
23 -0.001406 -6.58e-04 -0.04608 1.060 1.08e-03 0.0200
24 -0.087535 9.16e-02 0.12693 1.071 8.16e-03 0.0417
25 0.082921 -7.14e-02 0.26941 0.931 3.46e-02 0.0215
26 0.181990 -1.75e-01 0.23350 1.042 2.72e-02 0.0458
27 0.035904 -3.74e-02 -0.04910 1.093 1.23e-03 0.0475
28 0.006197 -5.80e-03 0.01063 1.073 5.77e-05 0.0285
29 0.013624 -1.50e-02 -0.03351 1.068 5.73e-04 0.0250
30 -0.060568 5.61e-02 -0.11616 1.048 6.82e-03 0.0261
31 -0.517224 5.31e-01 0.60963 0.962 1.75e-01 0.0830
32 -0.004001 1.46e-03 -0.05679 1.057 1.64e-03 0.0200
33 -0.040841 3.55e-02 -0.12623 1.034 8.01e-03 0.0217
34 0.016222 -8.95e-03 0.16289 1.008 1.32e-02 0.0201
35 0.144123 -1.40e-01 0.17409 1.081 1.53e-02 0.0560
36 -0.206233 1.96e-01 -0.30962 0.962 4.62e-02 0.0333
37 -0.476991 4.67e-01 -0.52350 1.041 1.33e-01 0.0977
38 -0.051546 4.94e-02 -0.06942 1.082 2.45e-03 0.0405
39 0.003854 -5.13e-03 -0.02875 1.063 4.22e-04 0.0207
40 -0.000265 6.54e-05 -0.00446 1.064 1.02e-05 0.0200
41 0.330405 -3.38e-01 -0.37180 1.126 6.90e-02 0.1143 *
42 0.006296 -5.92e-03 0.01030 1.075 5.42e-05 0.0299
43 0.035551 -3.24e-02 0.07770 1.058 3.07e-03 0.0242
44 0.034350 -4.45e-02 -0.23058 0.960 2.58e-02 0.0208
45 0.043407 -4.05e-02 0.07708 1.063 3.02e-03 0.0276
46 0.029244 -2.72e-02 0.05364 1.067 1.47e-03 0.0269
47 0.020373 -1.92e-02 0.03215 1.075 5.28e-04 0.0312
48 -0.139288 1.33e-01 -0.19723 1.037 1.94e-02 0.0366
49 0.023773 -1.53e-02 0.19008 0.989 1.78e-02 0.0201
50 -0.012719 6.71e-03 -0.13445 1.025 9.06e-03 0.0200
하지만 사실 이렇게보면 더 해석이 어려워 보입니다. 대개는 쿡의 거리 정도만 측정하는데, 그래도 더 모델을 정교하게 가다듬어야 한다면 olsrr 패키지와 ddalpha 패키지를 설치해서 그래프로 더 상세하게 볼 수 있습니다.
require("olsrr")
ols_cooksd_barplot(model)
ols_dfbetas_panel(model)
ols_dffits_plot(model)
(큰 그림을 보려면 클릭)
이렇게 보니 한결 파악이 쉬워졌습니다. 모델에서 20은 제외시키는 게 좋을 것 같고 31,37번 관측치도 다소 영향을 주는 관측치입니다. 이를 하나씩 제외시키면서 모델이 적합해지는지 관찰해 나가면됩니다. 다음 시간에 좀 더 실제 데이터에 가까운 예제 데이터로 실습해 보겠습니다. 모든 일이 그러하듯 회귀 분석 역시 여러 번 실제로 해봐야 실력이 늘 수 있습니다.
참고로 olsrr 패키지로 더 다양한 플롯을 그려보고 싶다면 아래 설명을 참조해 보시기 바랍니다.
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