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2018년 8월 19일 일요일

다중선형회귀 분석 (1)



 일반적으로 우리 주변에서 일어나는 현상은 여러 가지 원인이 복합적으로 작용해서 생기게 됩니다. 물론 중력처럼 질량과 거리 이외에 다른 요소 (예를 들어 화학 구성)는 작용하지 않는 경우도 있지만, 당뇨나 고혈압의 발생, 빈부 격차의 이유 등 여러 가지 자연 혹은 사회 현상은 매우 다양한 요인에 의해 발생합니다. 따라서 독립변수와 종속변수와의 관계를 정확히 알기 위해서는 종속변수에 영향을 줄 수 있는 다양한 변수를 통제해야 합니다. 


 예를 들어 대학 시절 성적과 졸업 후 10년, 20년 후 수입의 관계를 분석하고 싶다면 소득에 영향을 미칠 수 있는 다양한 변수들 - 본래 가구 소득, 전공, 성별, 나이 - 등이 미치는 영향을 통제하지 않는다면 성적과 수입의 관계를 객관적으로 증명할 수 없을 것입니다. 따라서 이를 통계적으로 보정하는 방법이 널리 쓰이고 있는데, 다중선형회귀 (multiple linear regression)도 그 중 하나입니다. 물론 기본적으로 여러 변수가 결과에 미치는 영향을 알아내기 위한 것이지만, 다른 혼란 변수의 영향을 보정할 수 있기 때문입니다. 


 자세한 통계적인 설명은 하지 않겠지만, 간단한 다중선형회귀 모형을 모델링하면서 설명해 보겠습니다. 일단 가상 모델을 만들기 위해 x1, x2, x3의 세 가지 변수를 임의로 만들어보겠습니다. 


set.seed(1234)
x1<-rnorm span="">
x2<-rnorm span="">
x3<-rnorm span="">
b<-rnorm span="">
y=3*x1+1.5*x2+1.7*x3+b


 각각의 변수는 30개씩 묶여 있으며 결과 변수와 각각 3배, 1.5배 1.7배의 선형 비례 관계를 지니고 있습니다. 물론 실제로 이런 단순한 관계는 현실에서는 보기 어려우며 이해를 돕기 위한 시뮬레이션이라고 설명할 수 있을 것입니다. 아무튼 결과 변수 (종속 변수) y에 영향을 미치는 독립 변수 x가 3개인 모델인데 만약 lm(y~x1) 모델을 만들면 정확한 회귀 계수를 추정하기 어려울 것입니다. 이 경우 간단하게 model=lm(y~x1+x2+x3)을 만들어 각각의 회귀 계수를 추정하고 다른 독립 변수의 영향력을 보정할 수 있습니다. 실제 그 차이를 알아보기 위해 모델을 확인해 봅니다. 


require("olsrr")

model=lm(y~x1)
summary(model)
par(mfrow=c(2,2))
plot(model)

influence.measures(model)
ols_plot_cooksd_bar(model)
ols_plot_dfbetas(model)
ols_plot_dffits(model)

model=lm(y~x1+x2+x3)
summary(model)
par(mfrow=c(2,2))
plot(model)

influence.measures(model)
ols_plot_cooksd_bar(model)
ols_plot_dfbetas(model)
ols_plot_dffits(model)


 위의 코드를 실행시키면 사실 잔차도나 이상치는 엄청난 차이가 나지 않지만 summary에서 분명한 차이점을 발견할 수 있습니다. 


> model=lm(y~x1)
> summary(model)

Call:
lm(formula = y ~ x1)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-36.34 -14.44  -0.90  15.47  37.91 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 116.3979    71.5144   1.628 0.114809    
x1            3.4529     0.8069   4.279 0.000198 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 19.62 on 28 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3954, Adjusted R-squared:  0.3738 
F-statistic: 18.31 on 1 and 28 DF,  p-value: 0.0001979

> model=lm(y~x1+x2+x3)
> summary(model)

Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-7.0906 -2.8166  0.2851  2.1145  9.5671 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 29.02510   18.89307   1.536    0.137    
x1           2.60382    0.17270  15.077 2.29e-14 ***
x2           1.36528    0.16145   8.456 6.15e-09 ***
x3           1.70894    0.08153  20.961  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 4.036 on 26 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9762, Adjusted R-squared:  0.9735 
F-statistic: 356.1 on 3 and 26 DF,  p-value: < 2.2e-16


독립 변수를 하나만 지정한 모델 (model=lm(y~x1))은 Adjusted R-squared 값도  0.3738 정도로 낮고 회귀 계수 추정도 3.45로 다소 어긋난 반면 다른 변수를 보정한 모델은 (model=lm(y~x1+x2+x3)) Adjusted R-squared 값이 0.9735로 매우 높고 회귀 계수도 3에 좀 더 가까운 편입니다. 따라서 모델의 설명력이 매우 높은 모델입니다. 이 예제는 회귀 계수 추정이 생각보다 차이가 크지 않지만, 더 복잡한 데이터에서는 생각보다 큰 차이가 날 수 있습니다. 


 독립 변수는 연속 변수 형태인 경우도 있지만, 남성과 여성, 인종 같이 범주형 자료인 경우도 있습니다. 이 경우 모델에 이를 포함시키지 않는다면 상당히 왜곡된 결과를 얻을 수도 있습니다. 연속 변수가 아닌 범주형 변수를 하나 추가해 분석을 해보겠습니다. 이를 위해 데이터 프레임 data.frame 함수를 이용해서 데이터 프레임으로 만들고 여기서 x4라는 변수에 a,b 두 가지 범주를 넣어보겠습니다. 


set.seed(1234)
x1<-rnorm span="">
x2<-rnorm span="">
x3<-rnorm span="">
b<-rnorm span="">
y=3*x1+1.5*x2+1.7*x3+b

df1<-data .frame="" span="" x1="" x2="" x3="" y="">
df1$x4="a"

set.seed(1234)
x1<-rnorm span="">
x2<-rnorm span="">
x3<-rnorm span="">
b<-rnorm span="">
y=2.8*x1+1.3*x2+1.6*x3+b

df2<-data .frame="" span="" x1="" x2="" x3="" y="">
df2$x4="b"

df3<-rbind df1="" df2="" span="">

 x4라는 가상의 변수는 서로 약간 다른 회귀 계수를 지닌 두 개의 데이터 프레임을 합쳐 만들었습니다. 그리고 이렇게 범주형 자료인 경우 factor()를 이용해서 지정해주면 lm 함수에서 인식할 수 있습니다. 


model1=lm(y~x1+x2+x3+factor(x4), data=df3)
summary(model1)
par(mfrow=c(2,2))
plot(model1)

model2=lm(y~x1+x2+x3, data=df3)
summary(model2)
par(mfrow=c(2,2))
plot(model2)


 결과는 극명하게 차이가 나는 것으로 나옵니다. 



> model1=lm(y~x1+x2+x3+factor(x4), data=df3)
> summary(model1)

Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + factor(x4), data = df3)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-8.8316 -2.8166  0.0721  1.7924 10.0919 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  49.38998   15.00658   3.291  0.00175 ** 
x1            2.70382    0.12220  22.125  < 2e-16 ***
x2            1.46528    0.11424  12.826  < 2e-16 ***
x3            1.75894    0.05769  30.489  < 2e-16 ***
factor(x4)b -38.01016    1.96103 -19.383  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 4.039 on 55 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.995, Adjusted R-squared:  0.9947 
F-statistic:  2749 on 4 and 55 DF,  p-value: < 2.2e-16


> model2=lm(y~x1+x2+x3, data=df3)
> summary(model2)

Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3, data = df3)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-34.680  -5.284   1.194   7.754  21.663 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -197.9125    21.9081  -9.034 1.59e-12 ***
x1             4.1547     0.2679  15.510  < 2e-16 ***
x2             2.7594     0.2571  10.733 3.31e-15 ***
x3             1.7401     0.1600  10.878 1.99e-15 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 11.2 on 56 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.961, Adjusted R-squared:  0.9589 
F-statistic: 460.3 on 3 and 56 DF,  p-value: < 2.2e-16

 
 x4를 포함한 경우 회귀 계수는 본래 값과 비교적 유사하게 나오지만, 포함하지 않은 경우 매우 이상하게 나오게 됩니다. 영향을 미칠 수 있는 다양한 변수를 통제하지 못할수록 정확한 결론을 내기 어려워지는 것입니다. 따라서 이 경우 x4를 포함한 모델이 더 우수하다는 결론이 나옵니다. 하지만 실제 통계 분석에서는 이렇게 본래 회귀 계수를 알 수 없는 경우가 대부분입니다. 이 경우 어떤 모델이 더 좋은지 어떻게 알 수 있을까요. anova를 통해 모델 간 비교가 가능합니다. 


> anova(model1, model2)
Analysis of Variance Table

Model 1: y ~ x1 + x2 + x3 + factor(x4)
Model 2: y ~ x1 + x2 + x3
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F    Pr(>F)    
1     55  897.2                                  
2     56 7025.8 -1   -6128.5 375.69 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


 두 모델을 비교한 결과 유의한 차이가 있는 것으로 나왔기 때문에 x4를 포함했을 때 유의미한 차이가 있다고 말할 수 있습니다. 만약 차이가 없는 것으로 나오면 간결함 모델이 더 좋은 모델이므로 변수가 더 적은 모델을 선택하면 됩니다. 이 해석에 대해서는 앞으로 더 다룰 기회가 있을 것입니다. 



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